扩充矩阵是什么
扩充矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵运算和解线性方程组中起着关键的作用。扩充矩阵是将矩阵与向量合并成一个新的矩阵，用于表示线性方程组的系数矩阵和常数向量。
构建扩充矩阵
构建扩充矩阵的方法是将线性方程组的系数矩阵和常数向量合并在一起。假设有一个线性方程组：
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ = b₂
…
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + … + aₘₙxₙ = bₘ
其中，a₁₁, a₁₂, …, aₘₙ是系数矩阵的元素，x₁, x₂, …, xₙ是未知数，b₁, b₂, …, bₘ是常数向量的元素。将系数矩阵和常数向量合并，得到扩充矩阵：
[ a₁₁ a₁₂ … a₁ₙ | b₁ ]
[ a₂₁ a₂₂ … a₂ₙ | b₂ ]
[ … ]
[ aₘ₁ aₘ₂ … aₘₙ | bₘ ]
扩充矩阵的第一列到第n列是系数矩阵的列，最后一列是常数向量的列。
应用扩充矩阵
扩充矩阵在解线性方程组中起着重要的作用。通过对扩充矩阵进行行变换，可以将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。
行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行乘以非零常数加到另一行上。通过这些行变换，可以将扩充矩阵转化为简化行阶梯形矩阵，即矩阵的每一行的第一个非零元素为1，且每一行的第一个非零元素所在的列的其他元素都为0。
简化行阶梯形矩阵可以直接读出线性方程组的解。如果矩阵的最后一列不全为0，则方程组无解；如果矩阵的最后一列全为0，且矩阵的主元列（第一个非零元素所在的列）的个数等于未知数的个数，则方程组有唯一解；如果矩阵的主元列的个数小于未知数的个数，则方程组有无穷多解。
总结
扩充矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数向量合并成一个新的矩阵。通过对扩充矩阵进行行变换，可以将线性方程组转化为简化行阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。扩充矩阵在线性代数中有着广泛的应用，是解决线性方程组的重要工具。
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